Procesamiento Digital de señales (Powerpoint) (página 2)

Partes: 1, 2, 3

Autocorrelación normalizada

Ejercicios
Realice la correlación de las siguientes señales:
Señales senoidales con frecuencia 10Hz, frecuencia de muestreo 360Hz, desfase 60°.
Dos señales de distribución de probabilidad gausiana.
La autocorrelación de una señal de distribución de probabilidad gausiana.

Transformada Z
Ejemplos
1. x(n) = {1 2 -1 -8}
X(z) = 1 + 2z-1 – z-2 – 8z-3; ROC: todo valor de z excepto z=0
x(n) = 0.5n u(n)

ROC: |0.5/z| < 1 => |z| > 0.5
z: variable compleja
ROC

Transformada Z de primer orden
h(n) = an u(n)

(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x
(Gp:) x

Propiedades de la Transformada Z
Linealidad:
ax1(n) + bx2(n) – > aX1(z) + bX2(z)

Desplazamiento
x(n-m) = z-mX(z)

Convolución
Y(z) = X(z) H(z)

Ecuación en Diferencias
y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-1) – a1y(n-1)
Propiedades de Z
Linealidad: ax1(n)+bx2(n) -> aX1(z)+bX2(z)
Desplazamiento: x(n-m) = z-mX(z)
Y(z) = b0X(z) + b1X(z) z-1+b2X(z) z-2-a1Y(z) z-1
Y(z) (1 + a1z-1) = X(z) (b0 + b1z-1 + b2z-2)

Ecuación en Diferencias
Especifican la operación que debe realizar un sistema:

Para pasar a Z (propiedad del desplazamiento):

Un sistema descrito por E. D (coef constantes) es LTI

Transformadas Z del seno y el coseno
sin(wnT)

cos(wnT)

Series de Fourier
En 1822 Fourier descubrió las series de Fourier.

Las sen(nwot) y cos(nwot) conjunto ortogonal donde:
wo: frecuencia fundamental o del primer armónico.
nwo: armónicos

Expansión en series de Fourier:
Series de Fourier: señales periódicas
Transformada de Fourier: señales de energía finita

Exponencial y sinusoidal en tiempo discreto
1. Una senoidal discreta es periódicas solo si la frecuencia es racional:
f0= k/N
2. Dos sinusoides separadas en Dw = 2p son idénticas

Exponenciales relacionadas armónicamente con f0=1/N,
El conjunto de exponenciales:
exp(j2pk f0n)
está conformado solo por N exponenciales discretas:
exp(j2pkn/N), k=0,1,2…N-1
son periódicas de periodo N.

DFT Transformada Discreta de Fourier
x(n) se asume de periodo N
X(k) es de periodo N.
DFT

IDFT

Ejemplo DTF
Ejemplo: x[n] = {1 0 0 1}:

Complejidad DFT
Para calcular cada punto: 4 multiplicaciones complejas y 3 sumas.

Para N puntos: N2 multiplicaciones y N(N-1) sumas. Alta complejidad.

Hay redundancias, por ejemplo:
Para k=1, n=2: WN2
Para k=2, n=1: WN2
WN = e-j2p/N
Para x(n) con 3 valores:

FFT
Peden aprovecharse las redundancias.
El primer algoritmo fue el de Cooley y Tukey (1965).

Relación entre Fourier y Z
La relación entre Fourier y Z:
z = re jq = e jw
Que es la transformada z alrededor del círculo unitario.
Transformada de Fourier

Transformada Z

Ejemplo
Un sistema con respuesta al impulso:
h(n) = 0.5nu(n)
Términos de la respuesta al impulso:
h(n) = {1, 0.5, 0.25, 0.125….}
Que tipo de filtro es (LPF, HPF, BPF)?
(Gp:) x

Como implementar el filtro en un DSP?

Ejercicios
Hallar los primeros 5 términos de la respuesta al impulso de un sistema con la siguiente función de transferencia:
Hallar la ecuación en diferencias para un sistema que tiene los siguientes polos y ceros:
z=0
z=0.5
p=-1
p=1

Relación señal a ruido
Resultado de la precisión finita:
SNR (ideal) = 6.02n + 1.76 dB
Puede mitigarse el efecto de truncar la fase añadiendo a la fase una secuencia aleatoria removiendo la periodicidad en la fase reduciendo los espurios

Osciladores
Tipos de osciladores
Look-up-table
CORDIC
Transformada z
Series de Taylor

Look-up-table
Consiste en acumular incrementos de fase para emplearlos como dirección de una ROM.
ROM completa: la ROM almacena los 360° de las señales seno y coseno. Emplea mucha memoria y pocos elementos lógicos.
ROM pequeña: almacena solo una porción de los valores de las señales seno y coseno. Los demás valores son derivados.

Programa en Matlab – LUT
clear all;
fs = 2000; %frecuencia de muestreo
fo = 20; %frecuencia de la señal
N = 2048; %valores en la tabla
paso = 2*pi/(N+1);
tabl = sin(0:paso:2*pi-paso);

Nspcy = fs/fo;
thpas = N/(Nspcy-1)

ang = 1;
x = [];
for k = 0:floor(Nspcy)-1,
x = [x tabl(floor(ang))];
ang = ang + thpas;
end

plot(x)
res = paso*180/pi

Antes y después de añadir ruido – LUT

CORDIC
Empleado cuando no se dispone de suficiente memoria para implementar una tabla.
El algoritmo emplea multiplicaciones por 2, sumas, restas y una tabla de un tamaño pequeño.